Question

17．已知：x=$\frac{2ab}{1+{b}^{2}}$（a＞0，b＞0），化简：$\frac{a+x}{a+x-\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$+$\frac{a-x}{-a+x+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先利用二次根式的性质变形得到原式=$\frac{（\sqrt{a+x}）^{2}}{（\sqrt{a+x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$-$\frac{（\sqrt{a-x}）^{2}}{（\sqrt{a-x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$，再进行约分后合并得原式=$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$，接着分母有理化可得原式=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，然后计算a²-x²得$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）^{2}}{（1+{b}^{2}）^{2}}$，所以原式=$\frac{a+\frac{a（1-{b}^{2}）}{1+{b}^{2}}}{\frac{2ab}{1+{b}^{2}}}$，再进行分式的化简即可．

解答 解：原式=$\frac{（\sqrt{a+x}）^{2}}{（\sqrt{a+x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$-$\frac{（\sqrt{a-x}）^{2}}{（\sqrt{a-x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$
=$\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$-$\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}-\sqrt{a+x}}$
=$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，
∵x=$\frac{2ab}{1+{b}^{2}}$，
∴a²-x²=a²-$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{（1+{b}^{2}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）^{2}}{（1+{b}^{2}）^{2}}$，
∴原式=$\frac{a+\frac{a（1-{b}^{2}）}{1+{b}^{2}}}{\frac{2ab}{1+{b}^{2}}}$
=$\frac{a+a{b}^{2}+a-a{b}^{2}}{2ab}$
=$\frac{1}{b}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．