Question

4．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：
①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S_△HCF=S_△ADH，
其中正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可以判定③正确，②错误，再证明AC∥DF，推出S_△DFA=S_△FDC，由此判断⑤正确，根据ASA可以判断①正确，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判断④错误．

解答 解：如图，连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°
∵△DEF是由△DEA翻折得到，
∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°
∴∠EFA=∠EAF=45°，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEF=∠DEA=45°，
∵EA=ED=EF，
∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，
∴∠DAF=∠DFA=22.5°，
∴∠ADF=180°-∠DAF-∠DFA=135°，
∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=45°，
∴∠DCF=180°-∠CDF-∠DFC=67.5°，
∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，
∴∠HCF=∠FHC，
∴△CFH是等腰三角形，故③正确．②错误，
∵∠ACD=∠CDF，
∴AC∥DF，
∴S_△DFA=S_△FDC，
∴S_△ADH=S_△CHF，故⑤正确，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAM=∠CDN，
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CDN}\\{AB=DC}\\{∠B=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，故①正确，
在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，
∴CE=CK＜CF，
∴CE≠CF故④错误．
∴①③⑤正确，
选B．

点评 本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造圆利用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型．