Question

已知二次函数图象的顶点横坐标是4，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，。

（1）求证： ；

（2）求a、b的值；

（3）若二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最值。

Answer 1

（1）∵图象的顶点横坐标是4，

∴抛物线的对称轴为x=4，即，化简得：。

（2）∵二次函数与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，

∴OA=－x₁，OB=x₂；。

令x=0，得y=c，∴C（0，c），∴OC=|c|。

由三角函数定义得：。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=2，即 ，化简得：。

将 代入得：，化简得：。

由（1）知，

∴当时，；当时，。

∴a、b的值为： ，或 ，。

（3）①由（2）知，当 ，时，抛物线解析式为：。

联立抛物线与直线解析式得到：，

化简得：。

∵二次函数图象与直线仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，即，解得=19。

∴抛物线解析式为：。

当x=4时，二次函数有最小值，最小值为15。

②由（2）知，当 ，时，抛物线解析式为：。

联立抛物线与直线解析式得到：，

化简得：。

∵二次函数图象与直线仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，即，解得=3。

∴抛物线解析式为：。

当x=4时，二次函数有最大值，最大值为7。

综上所述，若 ，，=19，二次函数图象与直线仅有一个交点时，二次函数的最小值为15；若 ，，=3，二次函数图象与直线仅有一个交点时，二次函数的最大值为7。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。