Question

9．已知整数k＜10且k为奇数，若△ABC的边长均满足关于x的方程x²-2$\sqrt{k}$x+8=0．则△ABC的周长是6或12或10．

Answer 1

分析 根据二次根式的意义得k≥0，△ABC的边长均满足关于x的方程则△=（-2$\sqrt{k}$）²-4×8≥0，而整数k＜10，则k=9，方程为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x²-6x+8=0，求得方程的解，进一步探讨△ABC的边长，然后分别计算三角形周长．

解答 解：根据题意得k≥0且（-2$\sqrt{k}$）²-4×8≥0，
解得k≥8，
∵整数k＜10为奇数，
∴k=9，
∴方程变形为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x²-6x+8=0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．