问题背景:.AD是△ABC的中线.将△ABD绕点D逆时针旋转得到△EFD．已知△ABC的面积为6.依题意填空:①∠ADC+∠EDF的度数为 ,②△EFD的面积为 ,探究发现:.在△ABC和△BDE中.∠ABC+∠DBE=180°.且BA=BD.BC=BE．设△ABC的面积为S1.△BDE的面积为S2.求证:S1=S2,迁移运用:.以Rt△ABC的三边为边长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

问题背景：
（1）如图（1），AD是△ABC的中线，将△ABD绕点D逆时针旋转得到△EFD．已知△ABC的面积为6，依题意填空：①∠ADC+∠EDF的度数为

；②△EFD的面积为

；
探究发现：
（2）如图（2），在△ABC和△BDE中，∠ABC+∠DBE=180°，且BA=BD，BC=BE．设△ABC的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，求证：S₁=S₂；
迁移运用：
（3）如图（3），以Rt△ABC（∠ACB=90°）的三边为边长分别向外作正方形ABDE、BCGF、ACHM，连接DF、EM、GH．已知AB=5，BC=3，求六边形DEMHGF的面积．

考点：旋转的性质,三角形的面积,勾股定理

专题：阅读型

分析：（1）由AD是△ABC的中线得到CD=BD，则根据根据三角形面积公式得S_△ABD=S_△ACD=

S_△ABC=3，再根据旋转的性质得△ABD≌△EFD，∠ADB=∠EDF，则S_△EFD=S_△ABD=3，加上∠ADB+∠ADC=180°，所以∠EDF+∠ADC=180°．
（2）由于BD=BA，则可把△BDE绕点B顺时针旋转得到△ABE′，如图（2），根据旋转的性质得则BE=BE′，∠ABE′=∠DBE，由于BC=BE，∠ABC+∠DBE=180°，则BC=BE′，∠ABC+∠ABE′=180°，于是可判断点E′、B、C共线，然后根据三角形面积公式即可得到S₁=S₂；
（3）先根据勾股定理计算出AC=4，再利用四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根据正方形的性质得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可计算出S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，利用周角的定义可计算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，于是利用（2）的结论可得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，然后把六边形DEMHGF内的各部分的面积相加即可．

解答：（1）解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴S_△ABD=S_△ACD=

S_△ABC=

×6=3，
∵△ABD绕点D逆时针旋转得到△EFD，
∴△ABD≌△EFD，∠ADB=∠EDF，
∴S_△EFD=S_△ABD=3，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠EDF+∠ADC=180°．
故答案为180°，3；
（2）证明：∵BD=BA，
∴把△BDE绕点B顺时针旋转得到△ABE′，如图（2）

，
则BE=BE′，∠ABE′=∠DBE，
∵BC=BE，∠ABC+∠DBE=180°，
∴BC=BE′，∠ABC+∠ABE′=180°，
∴点E′、B、C共线，
∴S₁=S₂；
（3）解：如图（3），
在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∵四边形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S_{正方形ABDE}=5²=25，S_{正方形ACHM}=4²=16，S_{正方形BCGF}=3²=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
由（2）的结论得S_△DBF=S_△ABC，S_△MAE=S_△ABC，S_△HCG=S_△ABC，
∴S_△DBF=S_△MAE=S_△HCG=S_△ABC=

×3×4=6，
∴六边形DEMHGF的面积=25+16+9+4×6=74．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形面积和勾股定理．