题目内容
7．甲同学在数学学习中对“自定义型题”有了一定的了解．他尝试着自定义了“姐妹三角形”和“姐妹四边形”的概念：如果一个直角三角形的一条直角边与另一直角三角形的一条直角边重合，两个三角形不重合也不全等，且两个直角三角形的对应边成比例，我们称这两个直角三角形是一对“姐妹三角形”．由这两个直角三角形拼成的四边形称为“姐妹四边形”．
解答下列问题：
（1）如图1，判断四边形ABCD是否为“姐妹四边形”，请说明判断的理由，并求出图1中对角线AC的长；
（2）如图2，在10×10的正方形网格中，给定一个Rt△ABC，请你画出所有使以A、B、C为项点的四边形是一个“姐妹四边形”的另一个顶点D．
分析 （1）根据题中的信息，验证是否符合即可，很明显图1是．如图1，过点C 作CE⊥AB交AB延长线于E，连接AC．结合勾股定理来求AC的长度；
（2）根据题中所给的定义，只要找到一个直角三角形，它的一条直角边与另一直角三角形的一条直角边重合，两个三角形不重合也不全等，且两个直角三角形的对应边成比例．
解答 解：（1）在直角△ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{9}{2}$．
在直角△CBD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10．
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{3}{4}$．
又∵BD=DB，∠ABD=∠BDC=90°，
∴△ABD与△CBD是一对“姐妹三角形”．
如图1，
过点C 作CE⊥AB交AB延长线于E，连接AC．
∵四边形BECD为矩形，DC=BE=8，CE=BD=6，
∴AE=AB+BE=$\frac{25}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{661}}{2}$；
（2）符合要求的点D如图2所示．
点评 本题考查了图形的剪拼，全等三角形的性质．解题的关键是理解“姐妹三角形”的定义．
练习册系列答案
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15．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，则下列结论错误的是（ ）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，则下列结论错误的是（ ）| A． | BD+ED=BC | B． | ED+AC＞AD | C． | DA平分∠EDC | D． | DE平分∠ADB |
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