Question

2．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=$\sqrt{2}$，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．

解答 解：在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²，AD=DC，
∴AC²=2AD²，
∴DC=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
同理；CF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，AB=$\sqrt{2}$，
S_阴影=S_△ADC+S_△BFC+S_△AEB=$\frac{1}{2}$DC•AD+$\frac{1}{2}$CF•BF+$\frac{1}{2}$AE•BE，
=$\frac{1}{4}$（AC²+BC²+AB²）
=$\frac{1}{4}$（AB²+AB²）
=$\frac{1}{4}$×2AB²
=$\frac{1}{2}$AB²
=$\frac{1}{2}$×2
=1；
故选：A．

点评 本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．