Question

2．矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F，连接EF，点M为EC的中点，N点为AE上的一个动点，AB=6
（1）证明：△ABE≌△CDF；
（2）填空：①当BC=6$\sqrt{3}$时，四边形AECF为菱形；
②在①的条件下，当ON=2$\sqrt{3}$时，四边形ONMC为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠BAE=∠FCD，即可根据ASA证明△ABE≌△CDF．
（2）当BC=6$\sqrt{3}$时，四边形AECF是菱形．通过计算求出AF=FC，再证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题．
（3）当AN=NE时，先证明四边形ONMC是平行四边形，再求出ON的长即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D=90°，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BAE=∠FCD，
在△ABE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCF}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）当BC=6$\sqrt{3}$时，四边形AECF是菱形．
理由：在Rt△ADC中，∵AD=BC=6$\sqrt{3}$，DC=6，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ACF=∠DCF=30°，
∴DF=CD•tan30°=2$\sqrt{3}$，
∴CF=2DF=4$\sqrt{3}$，AF=AD-DF=6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴AF=CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵AD=BC，
∴AF=CE，∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=FC，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为6$\sqrt{3}$．

（3）当AN=NE时，∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∴ON∥EC，
∵AN=NE，EM=CM，
∴NM∥AC，
∴四边形ONMC是平行四边形，
∴ON=CM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是利用特殊角30°解决问题，属于中考压轴题．