Question

3．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连结OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S₁、S₂．
（1）填空：①点B坐标为（4，2）；②S₁=S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当S₁+S₂=2时，求：?k的值及点D、E的坐标；?试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．

Answer 1

分析 （1）①根据OA=2，OC=4可直接得到点B坐标；②根据反比例函k的意义可知S₁、S₂都等于$\frac{1}{2}$|k|，即可得到答案；
（2）根据当S₁+S₂=2时，由（1）得出S₁=S₂=1，进而得出BD，BE的长，进而得出DO²+DE²=OE²，△ODE是直角三角形，进而得出三角形面积．

解答 解：（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4，
则点B坐标为（4，2），
②∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
利用△OAD、△OCE的面积分别为S₁=$\frac{1}{2}$AD•AO，S₂=$\frac{1}{2}$•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=$\frac{1}{2}$AD•AO=$\frac{1}{2}$k，S₂=$\frac{1}{2}$•CO•EC=$\frac{1}{2}$k，
∴S₁=S₂；
（2）当S₁+S₂=2时，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=$\frac{1}{2}$AD•AO=$\frac{1}{2}$AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=$\frac{1}{2}$•CO•EC=$\frac{1}{2}$×4×EC=1，
∴EC=$\frac{1}{2}$，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+$\frac{9}{4}$=$\frac{45}{4}$，
OE²=CO²+CE²=16+$\frac{1}{4}$=$\frac{65}{4}$，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=$\sqrt{5}$，
∵DE²=$\frac{45}{4}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△ODE的面积为：$\frac{1}{2}$×DO×DE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{15}{4}$，
故答案为：（1）①（4，2）；②=．

点评 此题主要考查了反比函数的综合应用以及勾股定理的应用以及三角形面积求法，利用数形结合在一起，得出BD，EB长是分析解决问题的关键．