Question

7．已知△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（1）当ED⊥BC时，BE的长为$\frac{30}{9}$；
（2）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，BE的长为3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CM⊥AB垂足为M，设AE=DE=x，由△EDB∽△CMB，得$\frac{EB}{BC}$=$\frac{DE}{CM}$，求出x即可解决问题．
（2）分两种情形如图2中，①当∠FED=∠EDB时，②当∠FED=∠DEB时，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作CM⊥AB垂足为M，设AE=DE=x，
∵CA=CB=5，CM⊥AB，
∴AM=BM=3，∴CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4，
∵∠B=∠B，∠EDB=∠CMB=90°，
∴△EDB∽△CMB，
∴$\frac{EB}{BC}$=$\frac{DE}{CM}$，
∴$\frac{6-x}{5}$=$\frac{x}{4}$，
∴x=$\frac{24}{9}$，
∴BE=6-x=$\frac{30}{9}$．
故答案为$\frac{30}{9}$
（2）如图2中，①当∠FED=∠EDB时，∵∠B=∠EAF=∠EDF，∴△EDF∽△△DBE，
∴EF∥CB，设EF交AD于点O，
∵AO=OD，OE∥BD，
∴AE=EB=3，
②当∠FED=∠DEB时，则∠FED=∠FEA=∠DEB=60°，此时△FED∽△DEB，设AE=ED=x，作DN⊥AB于N，
则EN=$\frac{1}{2}$x，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，∵DN∥CM，
∴$\frac{DN}{CM}$=$\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{4}$=$\frac{6-\frac{3}{2}x}{3}$，
∴x=$\frac{16（4-\sqrt{3}）}{13}$，
∴BE=6-x=$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$，
∴BE=3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$，
故答案为3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，学会分类讨论的思想，不能漏解，属于中考常考题型．