Question

如图，PB切⊙O于点B，联结PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，联结AP，AE．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果OD=3，tan∠AEP=

1

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OA、OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．
（2）根据tan∠AEP=

1

2

得出

AD

DE

=

1

2

，设AD=x，DE=2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，进而就可求得⊙O的半径．

解答：（1）证明：如图，连结OA，OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PE于点D，
∴∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，

OA=OB ∠POA=∠POB PO=PO

，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA⊥OA，
∴直线PA为⊙O的切线，
（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∵tan∠AEP=

AD

DE

=

1

2

，
∴设AD=x，DE=2x，
∴OE=2x-3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）²=x²+3²，
解得x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=OE=2x-3=5，
即⊙O的半径的长5．

点评：此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目能灵活运用．