Question

19．原型：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，C是在直线l上的一点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．易证△ACD∽△CBE．（不需证明）
应用：点A、B在抛物线y=x²上，且OA⊥OB，连结AB与y轴交于点C，点C的坐标为（0，d）．过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为M、N，点M、N的坐标分别为（m，0）、（n，0）．
（1）当OA=OB时，如图②，m=1，d=1；
    当OA≠OB，如图③，m=$\frac{2}{3}$时，d=1．
（2）若将抛物线“y=x²”换成“y=2x²”，其他条件不变，当OA=OB时，d=$\frac{1}{2}$；当OA≠OB，m=1时，d=$\frac{1}{2}$．
探究：若将抛物线“y=x²”换成“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，解答下列问题：
（1）完成下列表格．

a	1	2	3	$\frac{1}{2}$
d	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	2

（2）猜测d与a的关系，并证明其结论．
拓展：如图④，点A、B在抛物线y=ax²（a＞0）上，且OA⊥OB，连结AB与y轴关于点C，AB的延长线与x轴交于点D．AE⊥x轴，垂足为E，当AE=$\frac{4}{3a}$时，△AOE与△CDO的面积之比为4：9．

Answer 1

分析 （1）如图②中，根据条件利用相似三角形的性质求出点B坐标以及求出直线AB与y轴的交点，点M的坐标即可．
（2）如图③中，由题意A（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{9}$），设B（k，k²）由△AOM∽△OBN，得$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，求出点B坐标，再求出直线AB与y轴的交点即可解决问题
探究：（1）利用相似三角形性质求出点B坐标，再求出直线AB与y轴的交点即可解决问题．
（2）如图④中，结论：d=$\frac{1}{a}$，由点A（m，am²），点B（n，an²）的坐标，求出直线AB的解析式，再利用△AOM∽△OBN得$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，得出mn与a的关系即可解决问题．

解答 解：（1）如图②中，∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴A、B关于y轴得出，
∴AB∥MN，
∴可以设点A坐标（x，x），
∴x=x²，
∵x≠0，
∴x=1，
∴m=1，d=1．
如图③中，由题意A（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{9}$），设B（k，k²）．
∵△AOM∽△OBN，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴$\frac{\frac{4}{9}}{-k}=\frac{\frac{2}{3}}{{k}^{2}}$，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴点B坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），设直线AB为y=k′x+b则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}k+b=\frac{4}{9}\\;}\\{-\frac{3}{2}k+b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{6}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB为y=-$\frac{5}{6}x$+1，
∴d=1．
故答案为1，1，1．
（2）若将抛物线“y=x²”换成“y=2x²”，其他条件不变，当OA=OB时，如图2，∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴A、B关于y轴得出，
∴AB∥MN，
∴可以设点A坐标（x，x），
∴x=2x²，
∵x≠0，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴d=$\frac{1}{2}$，
当OA≠OB，m=1时，如图3中，点A（1，2），设B（k，2k²）．
∵△AOM∽△OBN，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴$\frac{2}{-k}$=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，
∴k=-$\frac{1}{4}$，
∴点B（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$），
∵直线AB为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
∴点C坐标为（0，$\frac{1}{2}$），
∴d=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$．
探究（1）同理可以得到d=$\frac{1}{3}$，d=2．
故答案为$\frac{1}{3}$，2．
（2）结论：d=$\frac{1}{a}$．
证明：∵M（m，0），N（n，0），点A、B都在抛物线上，
∴点A（m，am²），点B（n，an²），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=a{m}^{2}}\\{nk+b=a{n}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=（m+n）}\\{b=-amn}\end{array}\right.$，
又∵△AOM∽△OBN，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴$\frac{a{n}^{2}}{-n}$=$\frac{m}{a{m}^{2}}$，
∴mn=-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴b=-a（-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=$\frac{1}{a}$．
（2）如图④中，∵AE=$\frac{4}{3a}$，
∴$\frac{4}{3a}$=ax²，
∴x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3a}$，
∴OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3a}$，
∵OC=$\frac{1}{a}$，OC∥AE，
∴$\frac{OC}{AE}$=$\frac{DO}{DE}$，
∴$\frac{\frac{1}{a}}{\frac{4}{3a}}$=$\frac{DO}{DO+\frac{2\sqrt{3}}{3a}}$，
∴DO=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$•OE•AE=$\frac{1}{2}$$•\frac{2\sqrt{3}}{3a}$•$\frac{4}{3a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9{a}^{2}}$，S_△DOC=$\frac{1}{2}$•DO•CO=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{3}}{a}$$•\frac{1}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{{a}^{2}}$，
∴S_△AOE：S_△DOC=4：9．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的性质、一次函数的有关知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，利用相似三角形的性质建立方程解决问题，学会用参数解决问题，属于中考压轴题，有一定的难度．