Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求△ABD的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的

1

2

，求点P的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标；
（2）利用D点坐标得出△ABD的面积；
（3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标．

解答：解：（1）当x=0，则y=-3，
故C（0，-3），
y=x²-2x-3
=（x-1）²-4，
故D（1，-4）；

（2）∵点A（-1，0），点B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABD=

1

2

×4×4=8；

（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的

1

2

，
∴S_△ABP=4，
∵AB=4，
∴P点纵坐标为2或-2，
当P点纵坐标为2，则2=x²-2x-3，
解得：x₁=1+

6

，x₂=1-

6

，
此时P点坐标为：（1+

6

，2）或（1-

6

，2），
当P点纵坐标为-2，则-2=x²-2x-3，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
此时P点坐标为：（1+

2

，-2）或（1-

2

，-2），
综上所述：点P的坐标为：（1+

6

，2）、（1-

6

，2）、（1+

2

，-2）、（1-

2

，-2）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．