Question

17．如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁，l₂之间的距离为1，l₂，l₃之间的距离为2，点A、C分别在直线l₂，l₁上，
（1）利用直尺和圆规作出以AC为底的等腰△ABC，使得点B落在直线l₃上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中得到的△ABC为等腰直角三角形，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）作出线段AC的垂直平分线，使得点B落在直线l₃上，连结AB，BC，△ABC即为所求；
（2）过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCD，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，再利用勾股定理列式求出BC的长，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍解答．

解答 解：（1）如图1所示：△ABC即为所求．

（2）如图2，过点C作CD⊥l₃于D，过点A作AE⊥l₃于E，

则∠BCD+∠CBD=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABE+∠CBD=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BDC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，
∵l₁，l₂之间的距离为1，l₂，l₃之间的距离为2，
∴BD=2，CD=1+2=3，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{26}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的画法，平行线间的距离，等腰三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．