Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，EF=$\sqrt{3}$，求EB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先证明OD∥AB，再利用DE⊥AB得到OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）由∠C=30°得到∠AOD=60°，在Rt△ODF中利用含30°的直角三角形三边的关系得到OD=$\frac{1}{2}$OF，则AF=OA=OD，再在Rt△AEF中计算出AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF=1，AF=2AE=2，于是得到BC=AC=2OA=4，然后计算AB-AE即可．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CO=OD，
∴∠C=∠CDO，
∴∠CDO=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OF，
∴AF=OA=OD，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
∵EF=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF=1，
∴AF=2AE=2，
∴AC=2OA=4，
∴AB=AC=4，
∴BE=AB-AE=4-1=3．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．