Question

14．（1）如图1，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．
（2）如图2，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠E与∠A的关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（2）根据CE为∠ABC的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），两式联立可得2∠BEC=∠A．

解答 （1）∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
证明：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）2∠BEC=∠A．
证明：如图，

∵CE为∠ACB的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，两角平分线交于点E，
∴∠1=∠2，∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ACF中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△BEF中，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-$\frac{1}{2}$（∠A+2∠1），
即2∠E=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．