Question

4．如图，已知直线l₁∥l₂，且l₃和l₁，l₂分别交于A、B两点，l₄与l₁，l₂分别交于C、D两点，点P在直线AB上，且在l₄的右侧．
（1）如图，试猜想：∠1，∠2，∠CPD之间的关系；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1，∠2，∠CPD之间的关系是否发生变化？（只说结论，不要求证明）
（3）如果点P在A、B两点的外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠CPD之间的关系．
（点P和A、B不重合），并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据图形作出猜想即可；
（2）作PE∥AC，如图1，由于l₁∥l₂，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，所以∠1+∠2=∠3；
（3）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可．

解答 解：（1）猜想：∠CPD=∠1+∠2；

（2）∠1，∠2，∠CPD之间的关系不发生变化
仍是：∠CPD=∠1+∠2；
作PE∥AC，如图1，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；

（3）当P点在A的外侧时，如图a，过P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
当P点在B的外侧时，如图b，过P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．