Question

在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3

5

），直线y=kx-3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,坐标与图形性质,勾股定理

专题：

分析：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，根据直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（0，3

5

），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答：解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，
∵直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（0，3

5

），
∴圆的半径为3

5

，
∴OB=3

5

，
∴BD=

20

=2

5

，
∴BC的长的最小值为4

5

；
故答案为：4

5

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．