Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ，M为线段PQ的中点，则在整个运动过程中，M点所经过的路径长为

 

．

Answer 1

考点：轨迹

专题：压轴题

分析：先以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由题意知0≤t≤3，求得t=0及t=3时M的坐标，得到直线M₁M₂的解析式为y=-2x+8．过点M₂作M₂N⊥x轴于点N，则M₂N=3，M₁N=

3

2

，M₁M₂=

3 5

2

，线段PQ中点M所经过的路径长为

3 5

2

个单位长度．

解答：解：以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

依题意，可知0≤t≤3，当t=0时，点M₁的坐标为（4，0）；
当t=3时，点M₂的坐标为（

5

2

，3），设直线M₁M₂的解析式为y=kx+b，
∴

4k+b=0 5 2 k+b=3

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直线M₁M₂的解析式为y=-2x+8．
∵点Q（0，2t），P（8-t，0），
∴在运动过程中，线段PQ中点M₃的坐标为（

8-t

2

，t），
把x=

6-t

2

，代入y=-2x+8，得y=-2×

8-t

2

+8=t，
∴点M₃在M₁M₂直线上，
过点M₂作M₂N⊥x轴于点N，则M₂N=3，M₁N=

3

2

，
∴M₁M₂=

3 5

2

，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为

3 5

2

单位长度．
故答案为：

3 5

2

．

点评：本题主要考查了一次函数的应用．用到解二元一次方程组以及勾股定理，综合性较强．