Question

11．已知四边形ABCD的顶点为A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

Answer 1

分析 分别表示出$\overrightarrow{AB}$=（6-m，1-n），$\overrightarrow{CD}$=（1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2-m，5-n），$\overrightarrow{BC}$=（-3，2），再根据四边形ABCD是直角梯形需要满足的条件即可求出．

解答 解：∵A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（6-m，1-n），$\overrightarrow{CD}$=（3-2，3-5）=（1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2-m，5-n），$\overrightarrow{BC}$=（3-6，3-1）=（-3，2），
当$\overrightarrow{AB}$$∥\overrightarrow{CD}$时，即1-n=-12+2m，
∴2m+n=13，
当$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{CD}$=0时，即2-m-10+2n=0，
∴2n-m=8，
解得：m=$\frac{18}{5}$，n=$\frac{29}{5}$，
$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$时，即-3（5-n）=2（2-m），
∴3n+2m=19，
当$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即-18+3m+2-2n=0，
∴3m-2n=16，
解得：m=$\frac{86}{13}$，n=$\frac{25}{13}$，
综上可得：当m=$\frac{18}{5}$，n=$\frac{29}{5}$，或m=$\frac{86}{13}$，n=$\frac{25}{13}$时，四边形ABCD为直角梯形．

点评 本题考查了两个向量共线的性质，垂直的性质，坐标与图形的性质，正确理解向量共线的性质是解题的关键．