Question

13．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上在AB下方的一个动点，∠AOC=45°．则当△PAB为直角三角形时，AP的长为$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$或=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$或3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分是最清楚讨论即可：①如图1中，当点P在CO的延长线上，∠APB=90°时．②如图2中，当点P在线段CO上，∠APB=90°时．③如图3中，当∠ABP=90°时．分别解直角三角形即可．

解答 解：①如图1中，当点P在CO的延长线上，∠APB=90°时，作PE⊥AB于E．

∵∠AOC=∠POE=45°，∠PEO=90°
∴OE=PE，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OE=PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEP中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$．

②如图2中，当点P在线段CO上，∠APB=90°时，作PE⊥AB于E．

∵∠AOC=∠POE=45°，∠PEO=90°
∴OE=PE，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OE=PE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AEP中，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（3-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$．

③如图3中，当∠ABP=90°时，

∵∠BOP=∠AOC=45°，∠OBP=90°，
∴OP=PB=3，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
综上所述，当△PAB为直角三角形时，AP的长$\sqrt{18+9\sqrt{2}}$或=$\sqrt{18-9\sqrt{2}}$或3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．