Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为平行四边形时，求证：△ABE为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；
（2）首先证得△AFC为等腰直角三角形，然后即可证得△ABE为等腰直角三角形．

解答 解：（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）在□ABCD中，∠EAC+∠ACF=180°
∴∠EAF=∠BAC=45°
∴∠FAB+∠ACF=90°
又AF=AC
∴∠F=∠ACF
∴∠FAB+∠F=90°
∴∠ACF=45°
∴△AFC为等腰直角三角形
∴△ABE为等腰直角三角形

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．