Question

16．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2$\sqrt{2}$，P是AC上的一个动点．
（1）直接写出AD=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，四边形ABCD的面积=$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时?DPBQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据30°的直角三角形和等腰直角三角形的性质求出各边的长，再将两三角形面积相加即为四边形ABCD的面积；
（2）分两种情况：如图2和图3，利用三角函数的特殊值求出∠PDF的度数，再根据图形位置求出∠PDA的度数；
（3）如图4，根据（1）中结论可知，DP=CP=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．

解答 解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∵∠CAB=30°，AB=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
（2）当P点位置如图2所示时，
根据（1）中结论，DF=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=$\sqrt{2}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°；
当P点位置如图3所示时，同（2）可得∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°；
∴此时∠PDA的度数为15°或75°；
（3）如图4，
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC
根据（1）中结论可知，DP=CP=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴S_□DPBQ=DP•CP=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
则当点P运动到距离点C为$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上，此时?DPBQ的面积为$\frac{3}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．