题目内容
19．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为等边三角形，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
分析 （1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；
（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH的周长=3GF=$\frac{3}{2}$BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
解答 解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵EG=GB，EF=FD，
∴FG=$\frac{1}{2}$BD，GF∥BD，
∵DF=EF，DH=HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$EC，FH∥EC，
∴FG=FH，
∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，
∴∠DMC+∠DAE=180°，
∴∠DME=120°，
∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，
∴△GHF是等边三角形，
故答案为等边三角形．
（2）如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，
∴AF=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BD=CE=BF-DF=$\sqrt{6}$-1，
∴FH=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$．
（3）（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴△GFH的周长=3GF=$\frac{3}{2}$BD，
在△ABD中，AB=a，AD=b，
∴BD的最小值为a-b，最大值为a+b，
∴△FGH的周长最大值为$\frac{3}{2}$（a+b），最小值为$\frac{3}{2}$（a-b）．
点评 本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
名校课堂系列答案| A． | -1 | B． | 1 | C． | 5 | D． | -5 |
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