Question

9．我们知道：|a|表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a|=|a-0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a-1|？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探究吧!
步骤一：实验与操作：
（1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格

a	3	-5	5	-10	-5.5	…
b	7	0	-1	2	-1.5	…
A、B两点之间的距离	4	5				…

步骤二：观察与猜想：
（2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为|a-b|（用a、b的代数式表示）
步骤三：理解与应用：
（3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．

①求两个动点运动的速度；
②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；
③若A、B两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．

Answer 1

分析 （1）根据两点之间的距离公式解答即可；
（2）根据表格得出两点之间的距离表示形式即可；
（3）①设动点A、B的速度是3x，2x，列出方程解答即可；
②根据题意画出图形即可；
③设动点A、B的速度是3x，2x，列出方程解答即可．

解答 解：（1）5-（-1）=6；2-（-10）=12；-1.5-（-5.5）=4；
依次为6，12，4；
（2）A、B两点之间的距离可以表示为|a-b|（也可以表示为|b-a|）；
故答案为：|a-b|；
（3）①设动点A、B的速度是3x，2x，
可得：9x+6x=15，
解得：x=1，
答：动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒；
②因为动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒，
所以点A为9．点B为-6，如图：

③设经过t秒后，A，B两动点之间相距4个单位长度．
显然，动点A、B同时向左运动或者同时仍按原方向运动都不符合题意．
所以：（ I）当动点A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是-9+3t、6+2t，
根据题意得：|（-9+3t）-（6+2t）|=4，即t=19或t=11
（ II）当动点A向右运动，动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是-9+3t、6-2t，
根据题意得：|（-9+3t）-（6-2t）|=4，即$t=\frac{19}{5}或t=\frac{11}{5}$
答：经过11秒或19秒或$\frac{19}{5}$秒或$\frac{11}{5}$秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．

点评 本题主要考查的是数的绝对值，首先要牢记绝对值的定义以及几何和代数的意义．