Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．

（1）求证：FD²=FB•FC；

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

Answer 1

 

考点： 相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 

专题： 综合题．

分析： （1）要求证：FD²=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；

（2）要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，转化为证明∠3=∠4即可．

解答： （1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，

∴DE=EA，

∴∠A=∠2，（1分）

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠A，（2分）

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，

∴∠FDC=∠FBD，

∵∠F是公共角，

∴△FBD∽△FDC．（4分）

∴．

∴FD²=FB•FC．（6分）

 

（2）GD⊥EF．（7分）

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，

∴DG=GC．

∴∠3=∠4．

由（1）得∵△FBD∽△FDC，

∴∠4=∠1，

∴∠3=∠1．（9分）

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°．

∴DG⊥EF．（10分）

点评： 证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角．