Question

16．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求点B的坐标；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）用直线求出点A坐标为（3，4），反比例函数解析式y=$\frac{12}{x}$，设点B坐标为（x，$\frac{12}{x}$），tanα=$\frac{1}{3}$，得出$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，x=6，得出B点坐标（6，2）；
（2）过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，将三角形OAB分为两个三角形，分别求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴A（3，4），
反比例函数解析式y=$\frac{12}{x}$，
∵点B在这个反比例函数图象上，
设B（x，$\frac{12}{x}$），
∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\frac{12}{x}}{x}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴B（6，2）．
答：点B坐标为（6，2）．

（2）设直线OB为y=kx，（k≠0），
将点B（6，2）代入得：k=$\frac{1}{3}$，
∴OB直线解析式为：y=$\frac{1}{3}$x，
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：

则点C坐标为：（3，1），
∴AC=3
S_{△OAB的面积}
=S_{△OAC的面积}+S_{△ACB的面积}，
=$\frac{1}{2}$×|AC|×6
=9．
△OAB的面积为9．

点评 题目考查了一次函数与反比例函数的基本性质．求函数解析式及函数交点是函数常见问题．题目整体较为简单，学生在解决（2）中的面积问题可以利用多种方法求解．