Question

19．已知关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k+1=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）当k＞1时，判断方程两根是否都在-2与0之间．

Answer 1

分析 （1）计算判别式得到△=（2k+1）²-4k×（k+1）=1＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根x₁=-1，x₁=-k-1，根据k＞1得出-k-1＜-2，进而得到结论．

解答 （1）证明：∵a=k，b=2k+1，c=k+1，
∴△=b²-4ac=（2k+1）²-4k×（k+1）=4k²+4k+1-4k²-4k=1＞0，
∴无论k（k≠0）取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：kx²+（2k+1）x+k+1=0，
（x+1）（kx+k+1）=0，
∴x₁=-1，x₁=-$\frac{1}{k}$-1，
∵k＞1，
∴-k＜-1，
∴-$\frac{1}{k}$-1＞-2，
∴当k＞1时，方程的两根都在-2与0之间．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．