Question

7．如图，梯形ABCD中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．若AD=4，DC=6，则tanA=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB，由角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠CDB=∠CBD，根据等腰三角形的判定得到CD=BC=6，过C作CE⊥BD于E，根据相似三角形的性质得到CE=2，根据勾股定理得到BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=BC=6，
过C作CE⊥BD于E，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴BD=8$\sqrt{2}$，
∴tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{8\sqrt{2}}{4}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了梯形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．