Question

12．已知，在等边△ABC中，点D是AC上一点，在BD的延长线上取点Q，连接AQ、CQ，使∠AQC=120°．
（1）如图1，求证：QB平分∠AQC；
（2）如图2，在BC上取点E，使BE=CD，连接AE交BD于点P，点G为PQ的中点，若DG=PE，CQ=2，求BQ的长．

Answer 1

分析 （1）延长CQ到M，使AM=AQ，连接AM，根据已知条件得到△AMQ是等边三角形，推出△ABQ≌△ACM，根据全等三角形的性质得到∠AQB=∠AMC=60°，尽快得到结论；
（2）连接CQ，根据已知条件得到△ABE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠BDC，∠BAE=∠CBD，根据三角形的内角和得到∠DAQ=∠CBD，于是得到∠DAQ=∠BAE，推出∠BPE=∠CGD=60°，证得△GQC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到GQ=CG=2，PQ=2GQ=4，尽快得到结论．

解答 解：（1）证明：延长CQ到M，使AM=AQ，连接AM，
∵∠AQC=120°，
∴∠AQM=60°，
∵AM=AQ，
∴△AMQ是等边三角形，
在△AMQ与△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAQ=∠CAM}\\{AQ=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△ACM，
∴∠AQB=∠AMC=60°，
∴∠BQC=120°-60°=60°，
∴QB平分∠AQC；

（2）连接CQ，
在△ABE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠AEB=∠BDC，∠BAE=∠CBD，
∵∠DAQ+∠AQD+∠ADQ=180°，∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，
∵∠AQD=∠BCD，∠ADQ=∠BDC，
∴∠DAQ=∠CBD，
∴∠DAQ=∠BAE，
∴∠DAQ+∠CAE=∠BAE+CAE=60°，
∴∠APQ=180°-60°-60°=60°，
∴∠BPE=∠APQ=60°，
在△BPE与△CGD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠BEP=∠CDG}\\{PE=DG}\end{array}\right.$，
∴∠BPE=∠CGD=60°，
∵$∠CQG=\frac{1}{2}∠AQC=60°$，
∴△GQC是等边三角形，
∴GQ=CG=2，PQ=2GQ=4，
∵BP=CG=2，
∴BQ=BP+PQ=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．