Question

16．如图，BC为⊙O的直径，A为圆上一点，点F为$\widehat{BC}$的中点，延长AB、AC，与过F点的切线交于D、E两点．
（1）求证：BC∥DE；
（2）若BC：DF=4：3，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由题意，可得∠BOF=∠COF=90°，根据切线的性质，可得∠OFE=90°，利用平行线的判定，即可证明；
（2）过点B作BG⊥DE于点G，可得四边形BGFO是正方形，由BC：DF=4：3，可得BG：DG=2：1，利用锐角三角函数即可求得tan∠ABC．

解答 解：（1）连接OF，
∵点F为$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BF}=\widehat{CF}$，
∴∠BOF=∠COF，
∵BC为直径，
∴∠BOF+∠COF=180°，
∴∠BOF=∠COF=90°，
∵过F点的切线交于D、E两点，
∴OF⊥DE，
∴∠OFE=90°，
∴∠BOF=∠OFE，
∴BC∥DE；
（2）过点B作BG⊥DE于点G，
∴四边形BGFO是正方形，
∴BG=OF=GF=OB，
∵BC：DF=4：3，
∴BG：DG=2：1，
由（1）可知，tan∠ABC=tan∠BDG=$\frac{BG}{DG}$=2．

点评 本题主要考查切线的性质及解直角三角形，解决第（1）题，需要灵活运用切线的性质及平行线的性质和判定定理，（2）题能根据BC：DF=4：3，得到BG：DG=2：1是解题的关键．