Question

4．在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点B作BO⊥AE，垂足为点O，交AD边于点F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形ABEF是菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，AB=$\sqrt{2}$FD，连接OC、OD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形（不包括以BE或AB为一边的三角形）．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE是等腰三角形，再证明△ABF是等腰三角形，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．

（2）图2中的等腰三角形有△AOF，△EOF，△AEF，△OFD，△OEC，△ODC．

点评 本题考查平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．