Question

13．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）（用含a、b的式子表示AB）．

Answer 1

分析 将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，只要证明△FAE≌△DAE，推出EF=ED，∠ABF=∠C=45°，由∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，推出ED=EF=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得BC=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，根据AB=BC•cos45°即可解决问题．

解答 解：将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．
证明：∵△DAC≌△FAB，
∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，
在△FAE和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=FA}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△DAE，
∴EF=ED，∠ABF=∠C=45°，
∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90°，
∴ED=EF=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴BC=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴AB=BC•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）．

点评 本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．