Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=$\frac{3}{2}$，所以BH=BE-HE=$\frac{1}{2}$，再根据垂径定理得到BH=HG=$\frac{1}{2}$，所以BG=1．

解答 （1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即设⊙O的半径为$\frac{3}{2}$；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE=OM=$\frac{3}{2}$，
∴BH=BE-HE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=$\frac{1}{2}$，
∴BG=2BH=1．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和等腰三角形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的进行几何计算．