Question

8．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据题意以及直角三角形性质，表达出CQ、AQ，再根据当点P移动到点B时，点P停止移动，得出t的取值范围；
（2）分三种情况进行讨论：①若AP=AQ；②若AP=PQ；③若AQ=PQ，根据题意以及相似三角形对应边成比例，列出比例式进行计算即可得出结论．

解答 （1）解：∵点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，
∴AP=2t，
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8-t，
∵Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
∴10÷2=5（s），
∵当点P移动到点B时，点P停止移动，
∴t的取值范围是：0≤t≤5；

（2）解：分三种情况：
①若AP=AQ，则有2t=8-t，如图2，

解得：t=$\frac{8}{3}$（s）；
②若AP=PQ，如图3，过点P作PH⊥AC，则AH=QH=$\frac{8-t}{2}$，

∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AH}$=$\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{2t}{\frac{1}{2}（8-t）}$=$\frac{10}{8}$，
解得：t=$\frac{40}{21}$（s）；
③若AQ=PQ，如图4，过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=$\frac{1}{2}$AP=t，

∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC，
∴$\frac{AI}{AQ}$=$\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{t}{8-t}$=$\frac{8}{10}$，
解得：t=$\frac{32}{9}$（s）
综上所述，当t=$\frac{8}{3}$s或$\frac{40}{21}$s或$\frac{32}{9}$s时，△APQ是等腰三角形．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是根据题意画出图形，运用等腰三角形的三线合一的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．