Question

16．如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相邻两条平行线间的距离都相等，如果等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的三个顶点分别在三条直线上，则sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 过C作EF⊥l₁，垂足为E，交l₄于点F，由条件可证明△BFC≌△CEA，则可求得AE=2CE，在Rt△AEC中可求得AC，可求得答案．

解答 解：
如图，过C作EF⊥l₁，垂足为E，交l₄于点F，
由题意可知AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCF，
在△BFC和△CEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CAE}\\{∠BFC=∠CEA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△CEA（AAS），
∴AE=CF，
又CF=2CE，
∴AE=2EC，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$CE，
∴sinα=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{CE}{\sqrt{5}CE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角函数的定义，由条件构造三角形全等，求得AC与CE的关系是解题的关键．