Question

3．已知$\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}$，且x+2y+z=12，求x-2y+z的值．

Answer 1

分析 设$\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}$=t，则x+y=2t，y+z=3t，z+x=4t，先求出x+y+z=$\frac{9}{2}$t，再利用加减法分别得到x=$\frac{3}{2}$t，y=$\frac{1}{2}$t，z=$\frac{5}{2}$t，由于x+2y+z=12，则可解得t=$\frac{12}{5}$，于是得到x=$\frac{18}{5}$，y=$\frac{6}{5}$，z=6，然后计算x-2y+z的值．

解答 解：设$\frac{x+y}{2}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x}{4}$=t，则x+y=2t，y+z=3t，z+x=4t，
∴x+y+y+z+z+x=9t，即x+y+z=$\frac{9}{2}$t，
∴x=$\frac{9}{2}$t-3t=$\frac{3}{2}$t，y=$\frac{9}{2}$t-4t=$\frac{1}{2}$t，z=$\frac{9}{2}$t-2t=$\frac{5}{2}$t，
∵x+2y+z=12，
∴$\frac{3}{2}$t+t+$\frac{5}{2}$t=12，解得t=$\frac{12}{5}$，
∴x=$\frac{18}{5}$，y=$\frac{6}{5}$，z=6，
∴x-2y+z=$\frac{18}{5}$-2×$\frac{6}{5}$+6=$\frac{36}{5}$．

点评 本题考查了解三元一次方程组：利用代入法或加减法，把解三元一次方程组得问题转化为解二元一次方程组．