Question

如图，两个同心圆的半径分别为2cm和4cm，有大圆上一点A作小圆的两条切线AB、AC，切点为B、C，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：作辅助线，构造直角三角形，根据边角关系求出圆心角∠BOC，进而求出由优弧

BmC

所围成的扇形面积；求出四边形ABOC的面积问题即可解决．

解答：解：如图，连接OA、OB、OC；   
∵AB、AC分别是小⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC；
又∵OB=2cm，OA=4cm，
∴OB=

1

2

OA，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°-30°=60°；
同理可证∠AOC=60°；
∴优弧

BmC

的度数=360°-120°=240°；
设由优弧

BmC

，半径OB、OC所围成的扇形的面积为S；
则S=

120π×2

360

=

2π

3

（cm²）；
在△AOB与△AOC中，
∵

∠AOB=∠AOC ∠ABO=∠ACO OA=OA

，
∴△AOB≌△AOC（AAS），
∴S_{四边形ABOC}=2S_△AOB；
由勾股定理得：AB=

42-22

=

12

=2

3

，
∴S△AOB=

1

2

AB•OB=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∴图中阴影部分的面积
=

2π

3

+2×2

3

=

2π

3

+4

3

（cm²）．

点评：该题主要考查了圆的切线的性质定理及其应用问题；解题的关键是作出辅助线，灵活运用扇形的面积公式及三角形的面积公式来解题．