Question

3．如图，AB=4，以AB为直径作半圆，C为半圆周上一点，D为△ABC内心，△ABD的外接圆半径为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据内心的性质得到∠ADB=135°，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理得到∠AIB=90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 解：∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵D为△ABC内心，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-45°=135°，
设△ABD的外接圆的圆心为I，
则∠AIB=90°，
∴△ABD的外接圆的半径为：4×sin45°=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心、内切圆与内心，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理是解题的关键．