如图1.在平面直角坐标系xOy中.点M为抛物线y=-x2+2nx-n2+2n的顶点.过点(0.4)作x轴的平行线.交抛物线于点P.Q.PQ=4．(1)求抛物线的函数关系式.并写出点P的坐标,(2)小丽发现:将抛物线y=-x2+2nx-n2+2n绕着点P旋转180°.所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.你认为正确吗?请说明理由,.以PA为边作矩形PABC(点P.A.B.C按顺时针� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x²+2nx-n²+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．
（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；
（2）小丽发现：将抛物线y=-x²+2nx-n²+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；
（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），

．
①写出C点的坐标：C（

，

）（坐标用含有t的代数式表示）；
②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题

分析：（1）把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程，解的方程的解，根据根与系数的关系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式；
（2）根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），得出新抛物线的对称轴是y轴，然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4，即可判断新抛物线顶点应为坐标原点．
（3）①根据三角形相似即可求得C的坐标；②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax²，新抛物线是y=ax²过P（2，4），求得新抛物线的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+2nx-n²+2n过点P，P点的纵坐标为4，
∴4=-x²+2nx-n²+2n
解得：x₁=n+

2n-4

，x₂=n-

2n-4

，
∵PQ=x₁-x₂=4，
∴2

2n-4

=4，
解得：n=4，
∴抛物线的函数关系式为：y=-x²+8x-8，
∴4=-x²+8x-8，
解得：x=2或x=6，
∴P（2，4）．

（2）正确；
∵P（2，4），PQ=4，
∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（-2，4），
∴P与Q′正好关于y轴对称，
∴所得新抛物线的对称轴是y轴，
∵抛物线y=-x²+8x-8=-（x-4）²+8，
∴抛物线的顶点M（4，8），
∴顶点M到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4，
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．

（3）①如图2，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N，
∵

，
∴

，
∵△APM∽△PCN，
∴

，
∵AM=2-1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（-4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax²，
∵新抛物线是y=ax²过P（2，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴旋转后的新抛物线是y=x²，
∵C（-4t+2，4+t）在抛物线y=x²上，
∴4+t=（-4t+2）²，
解得：t=0（舍去）或t=

，
∴t=

．

点评：本题考查了方程根与系数的关系的应用，顶点坐标，旋转的性质，三角形相似的性质待定系数法求解析式等，解题的关键是根据题意从问题中整理出二次函数模型．