Question

12．如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．

Answer 1

分析 连接ME、EN、NF、MF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME∥AB且ME=$\frac{1}{2}$AB，NF∥AB且NF=$\frac{1}{2}$AB，然后求出ME∥NF且ME=NF，再根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形求出四边形MENF是平行四边形，然后根据平行四边形对角线互相平分证明即可．

解答 证明：如图，连接ME、EN、NF、MF，
∵M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴ME∥AB且ME=$\frac{1}{2}$AB，NF∥AB且NF=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME∥NF且ME=NF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴MN与EF互相平分．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造出以MN、EF为对角线的平行四边形是解题的关键．