Question

如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，BC=CD，∠ADC+∠B=180°，探究2AE与AB，AD的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：计算题

分析：2AE=AB+AD，理由为：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，由AC为角平分线，CE⊥AB，CF⊥AD，利用角平分线定理得到CE=CF，进而确定出三角形ACE与三角形ACF全等，得到AE=AF，再利用HL得到三角形BEC与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=DF，由AE=AB-BE，AF=AD+DF，等量代换即可得证．

解答：答：2AE=AB+AD，理由如下：
证明：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，

AC=AC CE=CF

，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE=AF，
在Rt△BEC和Rt△DFC中，

BC=DC EC=FC

，
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL），
∴BE=DF，
∵AE=AB-BE，AF=AD+DF，
∴AE+AF=AB-BE+AD+DF，
∴2AE=AB+AD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．