Question

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图所示，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求点D的坐标；
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，此时你能否判断出B′C和AB的位置关系？若能，给出证明；若不能，试说出理由．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）根据折叠变换的性质，点D为线段AB的中点，而A、B两点的坐标为A（2，0）、B（0，4），运用中点的坐标公式即可解决问题．
（2）由题意知BP=B′P；由B′D∥OB，得到△BCP∽△B′DP，

BC

B′D

=

BP

B′P

=1，故BC=B′D，四边形BCB′D为平行四边形，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，由题意得：
点D为线段AB的中点，A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，4），
设D点的坐标为（λ，μ），则λ=

2+0

2

=1，μ=

4+0

2

=2，
∴D点的坐标为（1，2）．
（2）B′C∥AB．理由如下：
如图2，连接BB′，交CD于点P；
则BP=B′P；
∵B′D∥OB，
∴△BCP∽△B′DP，
∴

BC

B′D

=

BP

B′P

=1，
∴BC=B′D，而B′D∥OB，
∴四边形BCB′D为平行四边形，
∴B′C∥AB．

点评：该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法，以考查坐标与图形的性质、平行线的判定等几何知识点为核心构造而成；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．