Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作DA⊥BA于点A，交BC的延长线于点D，延长BA至点E，连接CE交DA于点F，恰使AF=DF
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AO=AE=2，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC、AC，求出∠DCA=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出CF=AF，根据等腰三角形性质求出∠FAC=∠FCA，∠OCA=∠OAC，根据∠DAB=90°求出∠OCE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠E=30°，求出等边三角形ACO，求出AC=2，AB=4，根据勾股定理求出BC即可．

解答：（1）证明：连接OC，AC，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCA=90°，
∵AF=DF，
∴CF=AF，
∴∠FCA=∠FAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠FAC+∠OAC=∠DAB=90°，
∴∠OCF=∠FCA+∠OCA=∠FAC+∠OAC=∠DAB=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=AO=AE=2，∠OCE=90°，
∴∠CEO=30°，
∴∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=AO=BO=2，
∵∠ACB=90°，
∴由勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=

(2+2)2-22

=2

3

．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．