Question

11．已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点），连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x．
（1）当点E与点A重合时，求x的值．
（2）是否存在点P．使得？以A、B、M、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求x的值；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△CPM∽△DEP，可得 $\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，列出方程即可解决问题
（2）存在．方法类似（1）．

解答 解：（1）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{4-x}$，即x²-4x+2=0，
解得：x=2+$\sqrt{2}$或x=2-$\sqrt{2}$．

（2）存在．
理由：∵点P为边CD上的动点，BM=MC，
∴当AE=AD时，四边形ABME是平行四边形，
∵△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又CP=x，DE=1，CM=1，DP=4-x，
∴$\frac{x}{1}$=$\frac{1}{4-x}$，
∴x=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．