Question

6．如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在抛物线上求一点Q，使得△ACQ为等腰三角形，并写出Q点的坐标；
（4）除（3）中所求的Q点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点B的坐标代入求解即可；
（2）抛物线的对称轴为x=1．设点P的坐标为（1，a），分为AB=AP、BA=BP、AP=BP三种情况，然后结合两点间的距离公式列方程求解即可；
（3）当点Q在AC的垂直平分线上时，QA=QC，即点Q为抛物线的顶点；
（4）由（3）可知当Q为抛物线的顶点时，△AQC为等腰三角形；以A为圆心，以AC长为半径作⊙A，⊙A交抛物线与Q₁、Q₂、Q₃，以C为圆心，AC长为半径作⊙C，交抛物线与点Q₄、Q₅、Q₆，依据图形可得到问题的答案．

解答 解：（1）令x=0得：y=3，
∴B（0，3）．
令y=0得：3x+3=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点B的坐标代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）抛物线的对称轴方程为x=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
设点P的坐标为（1，a）．
当AB=AP时，$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（a-0）^{2}}$，整理得：10=4+a²，解得a=±$\sqrt{6}$
∴P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）．
当BA=BP时，$\sqrt{（-1-0）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3-a）^{2}}$，整理得：10=1+（3-a）²，解得：a=0或a=6，
∴P（1，0）或（1，6）．
当AP=BP时，$\sqrt{（-1-1）^{2}+（a-0）^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3-a）^{2}}$，整理得：6a=6，解得a=1，
∴P（1，1）．
综上所述：点P的坐标为P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或P（1，0）或（1，6）或P（1，1）．
（3）当点Q在AC的垂直平分线上时，则QA=QC．
由抛物线的对称性可知：此时点Q为抛物线的顶点．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴Q（1，4）．
（4）当QA=QC，时，抛物线的顶点即为所求的点Q．
如图所示：以A为圆心，以AC长为半径作⊙A，⊙A交抛物线与Q₁、Q₂、Q₃，以C为圆心，AC长为半径作⊙C，交抛物线与点Q₄、Q₅、Q₆．

由圆的性质可知：△ACQ₁、△ACQ₂、△ACQ₃、△ACQ₄、△ACQ₅、△ACQ₆均为等腰三角形．
∴符合题意的点Q共有7个．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数解析式，点的坐标与函数解析式之间的关系，二次函数的图象和性质，分为讨论是解答问题（2）的关键；作出⊙A和⊙C依据圆的性质和二次函数的性质判定出点Q的个数是解答问题（3）的关键．