Question

3．如图①点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90°）
（1）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图②，使边OM恰好平分∠BOC，问ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC=60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义可知∠BOM=∠MOC，由∠NOM=90°，可知∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90°，根据等角的余角相等可知∠AON=∠NOC；
（2）根据题意可知∠NOC+∠NOB=60°，∠BOM+∠NOB=90°，由∠BOM=90°-∠NOB、∠BON=60°-∠NOC可得到∠BOM=∠NOC+30°．

解答 解：（1）ON平分∠AOC．
理由：∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠MOC．
∵∠MON=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°．
又∵∠MOC+∠NOC=90°
∴∠AON=∠NOC，即ON平分∠AOC．
（2）∠BOM=∠NOC+30°．
理由：∠BOC=60°，即：∠NOC+∠NOB=60°，又因为∠BOM+∠NOB=90°
所以：∠BOM=90°-∠NOB=90°-（60°-∠NOC）=∠NOC+30°．
∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM=∠NOC+30°．

点评 本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，根据等角的余角相等证得∠AON=∠NOC是解题的关键．