Question

13．探究题：在下列图形中，已知AB∥CD，请你解答以下问题：
（1）图①中，∠A+∠C=180度，说明理由．
（2）在A、C之间加一个折点O₁时，如图②，则∠A+∠O₁+∠C=360度．
（3）在A、C之间加二个折点O₁、O₂时，如图③，则∠A+∠O₁+∠O₂+∠C=540度．…
（4）在A、C之间加n个折点O₁、O₂、…O₃时，如图m，你又有什么发现？请你用含n的代数式写出你发现的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点O₁作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出∠A+∠O₁+∠C度数；
（3）过点O₁作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出∠A+∠O₁+∠O₂+∠C度数；
（4）通过前三个，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论．

解答 解：（1）故答案为：180；理由：
如右图所示：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
（2）过O₁作O₁E∥AB
∴∠A+∠AO₁E=180°，
∵AB∥CD
∴O₁E∥CD，
∴∠EO₁C+∠C=180°．
∴∠A+∠AO₁E+∠EO₁C+∠C=360°，
即∠A+∠AO₁C+∠C=360°；
故答案为：360
（3）过O₁、O₂作O₁E∥AB，O₂F∥AB
∵AB∥CD
∴AB∥O₁E∥O₂F∥CD
∴∠A+∠AO₁E=180°，
∠EO₁O₂+∠O₁O₂F=180°
∠FO₂C+∠C=180°
∴∠A+∠AO₁E+∠EO₁O₂+∠O₁O₂F+∠FO₂C+∠C=180°×3
即∠A+∠AO₁O₂+∠O₁O₂C+∠C=540°；
故答案为：540
（4）由当平行线AB与CD间没有点的时候，∠A+∠C=180°，
当A、C之间加一个折点O₁时，∠A+∠O₁+∠C=2×180°；
当A、C之间加二个折点O₁、O₂时，则∠A+∠O₁+∠O₂+∠C=3×180°；
当A、C之间加三个折点O₁、O₂、O₃时，
则∠A+∠O₁+∠O₂+∠O₃+∠C=4×180°；
在A、C之间加n个折点O₁、O₂、…O_n时，
则∠A+∠O₁+∠O₂+∠O₃+…∠O_n+∠C=（n+1）×180°．

点评 本题考查了平行线的性质．过折点作平行线是解决问题的关键．另也可以作如图的辅助线，利用平行线的性质和周角．