Question

如图，已知二次函数y=x²-（m-3）x-m的图象是抛物线．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x²-（m-3）x-m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到

(m-3)2-4•(-m)

1

=3，然后解方程即可；
（2）由于△=（m-1）²+8＞0，根据判别式的意义得到方程x²-（m-3）x-m=0有两个实数根，设方程x²-（m-3）x-m=0的两个根为x₁，x₂，
根据根与系数的关系得x₁+x₂=m-3＜0，x₁•x₂=-m＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（3）据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到PQ=

(m-3)2-4•(-m)

，变形得到PQ=

(m-1)2+8

，根据非负数的性质得m=1时，PQ的最短值为2

2

，此时抛物线解析式为y=x²+2x-1=（x+1）²-2，得到M点的坐标为（-1，-2），然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）根据题意得

(m-3)2-4•(-m)

1

=3，
解得m₁=0，m₂=2，
即m为0或2时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3；
（2）∵△=（m-3）²-4•（-m）=m²-2m+9=（m-1）²+8＞0，
∴方程x²-（m-3）x-m=0有两个实数根，
设方程x²-（m-3）x-m=0的两个根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=m-3＜0，x₁•x₂=-m＞0，
∴m＜0；
（3）∵PQ=

(m-3)2-4•(-m)

=

(m-1)2+8

，
∴m=1时，PQ最短，最短值为

8

=2

2

，此时抛物线解析式为y=x²+2x-1=（x+1）²-2，
∴M点的坐标为（-1，-2），
∴△MPQ的面积=

1

2

×2×2

2

=2

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．抛物线与x轴的两个交点间的距离为

b2-4ac

|a|

．