题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（-4，0），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解析式，设点E的坐标为（t，t-1），则点F的坐标为（t，-t2-2t+3），然后列出EF关于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；
（3）过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″，先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可求得点P、P′、P″的坐标．
解答 解：（1）∵A，C的坐标分别为（1，0），（-4，0），
∴AC=5．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴BC=AC=5．
∴B（-4，-5）．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-16-4b+c=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）如图1所示：
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{-4k+b=-5}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-1．
所以直线AB的解析式为y=x-1．
设点E的坐标为（t，t-1），则点F的坐标为（t，-t2-2t+3）．
∴EF=-t2-2t+3-（t-1）=-t2-3t+4=（t+$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{4}$．
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，FE取最大值$\frac{25}{4}$，此时，点E的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）存在点P，能使△PEF是以EF为直角边的直角三角形．
理由：如图所示：过点F作直线a⊥EF，交抛物线于点P，过点E作直线b⊥EF，交抛物线P′、P″．
由（2）可知点E的坐标为（t，t-1），则点F的坐标为（t，-t2-2t+3），t=-$\frac{3}{2}$，
∴点E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）、F（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
①当-t2-2t+3=$\frac{15}{4}$时，解得：x=-$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∴点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
②当-t2-2t+3=-$\frac{5}{2}$时，解得：x=-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$或x=-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
∴点P′（-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$），P″（-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
综上所述，点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）或（-1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或P″（-1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出EF的长关于t的函数关系式是解题的关键．
如图，∠C=90°，AC=12，BC=6，AX⊥AC，点P和Q分别在线段AC和射线AX上运动，且PQ=AB，当点P从A点出发运动到C点或AC中点处时，△ABC≌△APQ．| A． | -1 | B． | -$\frac{3}{4}$ | C． | 0 | D． | $\frac{3}{4}$ |